ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome II  
ANALYSE

Volume 6
Calcul des variations. Compléments

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de H. BURKHARDT et W. WIRTINGER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1913-1916

Directeurs :
Jules MOLK
Heinrich BURKHARDT
Wilhelm WIRTINGER

Articles par :
Adolf KNESER
Ernest ZERMELO
Hans HAHN
Maurice LECAT

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
152 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-109-2

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

II - 31
CALCUL DES VARIATIONS
A. Kneser - E. Zermelo - H. Hahn - M. Lecat

Position de la question.
1. Objet du calcul des variations.
2. Problèmes fondamentaux.
3. Aperçu historique.
4. Extrémé en un point ; extrémé dans un intervalle ; extrémé faible ; extrémé fort. 

La variation première et les conditions de premier ordre de l'extrémé libre.
5. Considérations infinitésimales d'Euler.
6. Introduction des variations par Lagrange.
7. Formule fondamentale d'Euler.
8. Variation spéciale résultant de l'introduction d'un paramètre variable.
9. Conditions du premier ordre.
10. Objection de P. du Bois-Reymond.
11. Intégrabilité.
12. Représentation paramétrique ; généralités. Équation d'Euler sous forme paramétrique. 

La variation seconde dans le problème de l'extrémé libre.
13. La variation seconde.
14. La condition de Legendre.
15. Transformations de Jacobi.
16. Autres transformations de Jacobi.
17. La condition de Jacobi.
18. Conditions de Legendre et de Jacobi pour J_p.
19. La variation seconde en représentation paramétrique. 

La méthode de Weierstrass et les conditions suffisantes de l'extrémé libre.
20. Critique de la méthode de Jacobi-Clebsch. Méthode Weirstrass-Scheeffer pour les conditions suffisantes de l'extrémé faible.
21. Champ d'extrémales.
22. La méthode fondamentale de Weierstrass.
23. Méthode de Hilbert.
24. Conditions de Weierstrass.
25. Conditions nécessaires. Conditions suffisantes.
26. Condition de Jacobi. Compléments.
27. Existence d'une extrémale passant par un point dans une direction donnée, ou joignant deux points.
28. Le théorème d'Osgood.
29. Méthode de Darboux-Kneser.
30. Généralisations de la théorie de Darboux-Kneser.
31. Invariants. 

Limites variables.
32. Premières recherches.
33. Un seul point extrême variable. Recherches récentes.
34. Deux limites variables. Recherches récentes.
35. Ligne d'intégration fermée.

Solutions discontinues.
36. La condition de Weierstrass-Erdmann. Famille d'extrémales brisées.
37. Points conjugués sur les extrêmales brisées.
38. Champ d'extrêmales brisées. Conditions suffisantes.
39. Problèmes de variations unilatérales.
40. Problèmes de variations discontinus.

Le problème isopérimétrique.
41. Condition du premier ordre. Règle d'Euler.
42. Conditions de Legendre et de Weierstrass.
43. Points conjugués. Condition de Jacobi.
44. Le théorème fondamental de Weierstrass et les conditions suffisantes dans le problème isopérimétrique.
45. Problème isopérimétrique avec une limite variable.
46. Solutions discontinues et autres recherches sur le problème isopérimétrique.

Le problème de Lagrange.
47. Position du problème.
48. La méthode des multiplicateurs. Cas particuliers.
49. La méthode des multiplicateurs et les conditions du premier ordre. Cas général.
50. Le problème de Mayer.
51. La variation seconde dans le problème de Lagrange.
52. Conditions de Clebsch. Conditions de Jacobi.
53. La condition de Weierstrass.
54. Théorie de Kneser sur les points conjugués.
55. Les conditions suffisantes dans le problème de Lagrange.
56. Limites variables. Théorème d'Osgood.

Intégrales doubles et multiples.
57. Généralités.
58. La variation première et l'équation différentielle de Lagrange.
59. Représentation paramétrique. Invariants.
60. Limite variable.
61. La variation seconde. Conditions qui en résultent.
62. Conditions suffisantes pour extrêmer une intégrale double.
63. Le théorème d'Osgood.
64. Extrémés liés des intégrales doubles.

L'extrémé absolu. Théorèmes d'existence.
65. Généralités.
66. Théorème d'existence de Hilbert.
67. Problèmes de Dirichlet.
68. Théorème de Darboux.

Propriétés des équations du calcul des variations.
69. La méthode de Jacobi-Hamilton.
70. Les équations canoniques de Hamilton-Volterra.
71. Invariants intégraux et autres invariants du calcul des variations.
72. Autres recherches sur les équations du calcul des variations.

Le problème inverse.
73. Le problème inverse pour les équations différentielles du second ordre.
74. Le problème inverse pour les équations différentielles d'ordre supérieur au second.
75. Le problème inverse pour les intégrales doubles ou multiples.

Applications du calcul des variations.
76. Généralités.
77. Applications analytiques ; équations différentielles, aux dérivées partielles, équations intégrales, équations intégro-différentielles.
78. Lignes géodésiques.
79. Surfaces minimées.
80. La plus petite surface de révolution.
81. Les problèmes isopérimétriques.
82. Problème de Newton et questions analogues. Surfaces propulsives.
83. Solides de plus grande attraction. Moments d'inertie.
84. Brachistochrones.
85. Applications à la statique.
86. Conditions d'existence du potentiel cinétique.
87. Applications à la dynamique. L'action. Principes de Maupertuis, de Hamilton.
88. Variation seconde de l'action.
89. Applications à l'optique.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome III
GÉOMÉTRIE

Volume 1  
Fondements de la géométrie
Géométrie générale

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de François MEYER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1911-1915 et 1955

Directeurs :
Jules MOLK
François MEYER

Articles par :
Federigo ENRIQUES
Arthur Moritz SCHŒNFLIES
Hans von MANGOLDT
Ludovic ZORETTI
Gino FANO
S. CARRUS
Hieronymus Georg ZEUTHEN
Mario PIERI
Élie CARTAN

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 1991
24,5 x 18 cm, oblong
240 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-110-8

Seules les 21 premières pages de l'article III-5, La théorie des groupes continus et la géométrie, par G. FANO et Élie CARTAN, avaient été publiées le 8 juillet 1915 dans le deuxième (et dernier) fascicule du Volume 1 du Tome III.
Il leur a été substitué l'article intégral paru quarante ans plus tard dans les Œuvres complètes d'Élie Cartan, Partie III, Volume 2, Gauthier-Villars, 1955.

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

III - 1
PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE
F. Enriques

Introduction.
1. Considérations générales sur les recherches mathématiques concernant les principes de la géométrie.
2. Objet de la géométrie.
3. Forme logique du développement de la géométrie.
4. Compatibilités des postulats.
5. Division de cet article. 

Questions d'ordre élémentaire.
6. Remarque préliminaire.
7. Point, ligne et surface.
8. Droite et plan définis à l'aide de la congruence et de mouvements.
9. Droite et plans définis à l'aide de postulats.
10. Segment ; angle ; le concept "situé entre".
11. Congruence et mouvement.
12. Sur la réduction des concepts fondamentaux considérés dans les numéros précédents.
13. Continuité et postulat d'Archimède.
14. Le postulat des parallèles.
15. Développement de la théorie des parallèles.
16. Nouveaux développements de la théorie des parallèles.
17. Aire et volume.
18. Nouveaux développements de la théorie des proportions au sens des anciens.
19. Conclusion. 

Principes de la théorie du continuum.
20. Préliminaires.
21. La notion de ligne.
22. Surfaces. Variétés à n dimensions.
23. Lignes tracées sur une surface. 

Principes de la géométrie projective.
24. Postulats concernant une région de l'espace.
25. Postulats de l'espace projectif complet.
26. Coordonnées projectives.
27. Remarques concernant les propositions fondamentales de la géométrie projective.
28. Sur le rôle du concept de la disposition dans l'étude des principes de la géométrie projective. 

Métrique projective.
29. La géométrie métrique ordinaire rattachée à la géométrie projective.
30. Détermination métrique générale de Cayley et son interprétation non-euclidienne par Klein.
31. Remarques diverses sur les déterminations métriques projectives. 

Principes de la métrique générale.
32. Avant-propos.
- A. Éléments linéaires. Distance finie de deux points.
33. Géométrie sur une surface courbe.
34. Détermination métrique de Riemann dans une variété d'une dimension quelconque.
35. Variétés homogènes.
36. Caractère projectif des variétés à courbure constante.
37. Recherches de Tilly sur l'expression de la distance finie.
38. Systèmes géométriques de Minkowski-Hilbert.
- B. Groupe de mouvements.
39. Postulats de Helmholtz.
40. Recherches de S. Lie.
41. Recherches de Poincaré.
42. Recherches de Hilbert. 

Rapports de connexion de l'espace illimité.
43. Variétés pouvant se mouvoir tout entières.
44. Formes à deux dimensions de Clifford-Klein.
45. Formes à trois dimensions de Clifford-Klein. 

Géométrie non-archimédienne.
46. Introduction.
47. Continuum à une dimension de type supérieur.
48. Nombres non-archimédiens de Veronese et de Hilbert.
49. Résultats généraux de Veronese.
50. Géométrie projective non-archimédienne.
51. Géométrie euclidienne non-archimédienne.
52. Développements non-archimédiens sur la théorie des parallèles. 

III - 1a
NOTES SUR LA GÉOMÉTRIE NON-ARCHIMÉDIENNE
A. Schœnflies

1. Caractères spéciaux des nombres de Veronese pouvant représenter le continu.
2. Géométrie projective non-archimédienne. 

III - 2
LES NOTIONS DE LIGNE ET DE SURFACE
H. von Mangoldt - L. Zoretti

1. Nécessité d'une explication précise.
2. Historique.
3. Notion géométrique de ligne.
4. La ligne analytique.
5. Arcs d'une ligne analytique.
6. Points isolés (Einsiedler).
7. Représentation par des équations.
8. La notion de ligne d'après Jordan.
9. Autres généralisations.
10. La notion physique de ligne.
11. La notion de surface.
12. Recherches contemporaines sur la notion de surface. 

III - 3
EXPOSÉ PARALLÈLE DU DÉVELOPPEMENT DE LA GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE ET DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE PENDANT LE 19^e SIÈCLE
G. Fano - S. Carrus

Remarques générales. Délimitation du sujet : Développement de la géométrie au 19^e siècle à partir de Monge.
1. Caractères distinctifs des deux géométries.
2. Notions fondamentales de la géométrie analytique.
3. Relations mutuelles des deux géométries.
4. Plan de l'exposé suivant.
5. La situation à l'époque de Monge.
6. Les premiers successeurs de Monge.

Établissement de la géométrie synthétique par Poncelet, Möbius, Steiner et Chasles.
7. L'oeuvre de Poncelet.
8. Möbius.
9. Steiner.
10. Continuation du programme de Steiner.
11. Chasles.

Développement correspondant de la géométrie analytique.
12. Möbius et Plucker.

von Staudt. En particulier, figures du second degré et théorie des imaginaires avec extensions.
13. von Staudt.
14. Théorie des imaginaires de von Staudt.
15. Perfectionnement et développement ultérieur de la théorie des imaginaires.
16. Extensions ultérieures. Configurations hyperalgébriques et éléments bicomplexes.
17. Développements analytiques correspondants. Nombres bicomplexes.
18. Étude directe des figures hyperalgébriques ; leur relation avec les formes d'Hermite.

Théorie générale des courbes et surfaces algébriques.
19. Théorie analytique des courbes planes algébriques.
20. Surfaces.
21. Courbes algébriques gauches.
22. Rapports avec la théorie des invariants.
23. Génération géométrique des courbes et des surfaces par Grassmann.
24. Théories algébrico-géométriques. Cremona.
25. Esquisse de Thieme.
26. Théorie purement synthétique des courbes planes par Kotter.
27. Recherches de Paolis.

Géométrie algébrique à plusieurs dimensions.
28. Essais sur la conception analytique d'espaces à plusieurs dimensions.
29. Espaces à plusieurs dimensions nés de la considération d'éléments quelconques.
30. Perfectionnement et développement de la conception projective.

Géométrie sur une variété algébrique.
31. Appel aux fonctions transcendantes. La situation de Clebsch.
32. Géométrie sur une courbe ou sur une surface algébrique.

Géométrie énumérative.
33. But et principes généraux.

Géométrie infinitésimale.
34. Digression sur la théorie des fonctions.
35. La géométrie d'une portion limitée de l'espace opposée à la géométrie de l'espace tout entier.
36. Application de l'analyse à la géométrie de Monge. Développements de géométrie de Dupin.
37. Disquisitiones generales de Gauss.
38. Progrès de la théorie infinitésimale des courbes et surfaces.
39. Aperçu général sur les recherches de Lie.

Autres généralisations analytiques.
40. La notion générale de courbe envisagée analytiquement.

III - 4
GÉOMÉTRIE ÉNUMÉRATIVE
H.G. Zeuthen - M. Pieri

Généralités.
1. Objet de la géométrie énumérative.
2. Notions fondamentales. Théorèmes de Bezout.
3. Les concepts de "général" et de "spécial" ; formules de Plucker, Cayley, Salmon, etc.
4. Emploi synthétique de résultats acquis antérieurement.

Loi de la conservation du nombre. Principe de continuité.
5. Principe de continuité de Poncelet.
6. Usage du principe de continuité après Poncelet.
7. Application nouvelle et plus complète du principe de continuité.
8. Loi de conservation du nombre.
9. Généralisations inductives ; méthode fonctionnelle de Cayley ; critique ultérieure.
10. Problèmes à un nombre infini de solutions.
11. Problèmes dont le nombre de solutions est nul.

Le principe de correspondance.
12. Genèse du principe de correspondance.
13. Le principe de correspondance et ses premières applications.
14. Recherche du nombre des solutions confondues ; nouvelles applications.
15. Méthodes connexes aux précédentes.
16. Correspondance dans le plan et dans l'espace à trois ou plus de trois dimensions.
17. Correspondance entre les points d'une courbe ou d'une surface.

Emploi des propositions sur les genres.
18. Théorème élémentaire du genre pour les courbes algébriques. Sa généralisation
19. Genre de surface et autres nombres analogues.

Introduction successive de plusieurs conditions ; calcul symbolique.
20. Systèmes de courbes ; l'indice jonquiérien.
21. Les deux caractéristiques de Chasles.
22. Caractéristiques des systèmes de courbes ou de surfaces.
23. Multiplication symbolique.
24. Les formules d'incidence de Schubert.
25. Les formules de coïncidence de Schubert ; établissement de nouvelles formules.
26. Nombres fondamentaux et formules d'incidence et de coïncidence de l'espace à n dimensions.

Calcul des caractéristiques au moyen des dégénérescences.
27. Systèmes de coniques.
28. Systèmes de surfaces et d'hypersurfaces du second degré.
29. Systèmes formés par des courbes d'ordre supérieur.
30. Couples de figures liées par une correspondance.

Problème de caractéristiques.
31. Systèmes du second degré.
32. Autres caractéristiques.

Appendice.
33. Etablissement de nouveaux liens entre la géométrie énumérative et l'algèbre.
34. Applications à des problèmes transcendants.

III - 5
LA THÉORIE DES GROUPES CONTINUS ET LA GÉOMÉTRIE
G. Fano - É. Cartan

I - Transformations. Groupes de transformations et géométries correspondantes.
1. Transformations.
2. Groupes de transformations. Leur classification.
3. Point de vue de Klein : la géométrie regardée comme l'étude d'un groupe. La théorie des invariants attachés à un groupe.
4. La géométrie élémentaire et son groupe fondamental. La géométrie euclidienne.
5. Groupe projectif général. Géométrie projective.
6. Sous-groupes continus du groupe projectif général.
7. Groupe affine. Géométrie affine.
8. Groupes projectifs qui laissent invariantes des courbes ou des surfaces.
9. Groupes projectifs qui laissent invariantes une M²_n-1.
10. La géométrie réglée projective de E₃.
11. Groupe des rayons vecteurs réciproques. Géométrie conforme.
12. Sous-groupes continus du groupe des rayons vecteurs réciproques. Les géométries non euclidiennes sphérique et pseudo-sphérique.
13. La géométrie des sphères orientées de Lie.
14. La géométrie de direction de Laguerre.
15. La cinématique nouvelle et le groupe de Lorentz.
16. La géométrie hermitienne.
17. La géométrie projective quaternionienne.
18. La géométrie projective duale.
19. La géométrie projective du plan complexe et la géométrie projective radiale de l'espace hyperbolique réel.
20. La géométrie projective du plan dual et la géométrie projective duale de l'espace euclidien.
21. Les éléments impropres de la géométrie projective radiale.
22. Représentation projective de la géométrie projective radiale.
23. La géométrie projective des somas.
24. La géométrie pseudoconforme des somas.
25. Transformations de contact. Groupes finis et continus de transformations de contact.
26. Géométrie projective des éléments du second ordre du plan.
27. Groupe de transformations de Cremona.
28. Groupes finis et continus de transformations de Cremona ; leur représentation projective.
29. Énumération de quelques groupes infinis de transformations ponctuelles.
30. Groupes infinis de transformations de contact.
31. Certains groupes infinis de l'espace réglé.
32. Le groupe des transformations équilonges.
33. Autres groupes géométriques. L'analysis situs.
34. Les différentes géométries sur une variété donnée.

II - Géométries équivalentes.
35. Géométries à groupes semblables et à groupes isomorphes.
36. Géométries équivalentes à la géométrie projective de la droite.
37. Extension à des systèmes linéaires quelconques de formes algébriques.
38. Le principe de Hesse appliqué à la génération de groupes projectifs isomorphes d'un groupe projectif donné.

39. Géométries projectives équivalentes à la géométrie projective de E_{r - 1}.
40. Les géométries projectives réelles équivalentes aux géométries hermitiennes et aux géométries quaternioniennes.
41. Géométries équivalentes à groupe fondamental simple.
42. Géométrie admettant comme groupe fondamental un sous-groupe fondamental d'une autre géométrie. Subordination des géométries euclidienne et non euclidienne à la géométrie projective.
43. Subordination de la géométrie projective à des géométries dont le groupe contient le groupe projectif comme sous-groupe.

III - Recherches spéciales sur les invariants des groupes.
44. Invariants. Invariants différentiels.
45. Théorie des invariants du groupe linéaire.
46. Interprétation de la théorie des invariants linéaires au moyen de la géométrie projective.
47. Interprétation de la théorie des invariants linéaires au moyen de la géométrie affine.
48. Calcul géométrique. Géométrie intrinsèque.
49. La géométrie métrique intrinsèque.
50. Le rapport anharmonique et ses généralisations en géométrie projective.
51. Les invariants de la géométrie projective d'une quadrique. Le problème d'Apollonius dans la géométrie des rayons vecteurs réciproques.
52. Applications de la théorie des diviseurs élémentaires à certains problèmes d'équivalence géométrique.
53. La géométrie différentielle intrinsèque.
54. La méthode du trièdre mobile et sa généralisation.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome III
GÉOMÉTRIE

Volume 2
Géométrie descriptive
Géométrie élémentaire

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de François MEYER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1913

Directeurs :
Jules MOLK
François MEYER

Articles par :
Arthur Moritz SCHŒNFLIES
Arthur TRESSE
Ernst STEINITZ
E. MERLIN

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
88 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-111-5

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.


S O M M A I R E

III - 8
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE

A. Schœnflies - A. Tresse

Aperçu historique.
1. La projection centrale.
2. Théorie des transversales de Carnot.
3. Le principe de continuité. 

Méthodes et notions générales.
4. Poncelet, créateur de la géométrie projective.
5. Polarité, réciprocité et dualité.
6. La notion générale de correspondance.
7. Le rapport anharmonique.
8. Les figures fondamentales et leurs transformations homographiques.
9. Propriétés métriques de la correspondance homographique.
10. Les méthodes projectives de génération des figures.
11. Correspondances homographiques ou réciproques entre éléments d'une même figure fondamentale. 

Cas remarquables de transformations homographiques ou corrélatives.
12. Positions remarquables de deux figures homographiques.
13. Figures en involution.
14. Projectivités cycliques.
15. Homographies et corrélations évanouissantes.
16. Le problème de la projectivité. 

Les principes fondamentaux.
17. La géométrie projective établie, avec Staudt, sur des bases indépendantes de la
géométrie métrique.
18. L'importance fondamentale des théorèmes de disposition.
19. Les éléments imaginaires.
20. Antiprojectivité ou symétralité.
21. Le calcul des jets.
22. Les diverses manières d'envisager les problèmes de la géométrie projective. 

Les transformations homographiques prises pour objet d'opérations.
23. Le calcul des transformations homographiques.
24. Faisceaux et réseaux de correspondances homographiques ou corrélatives. 

Les généralisations des correspondances projectives.
25. L'homographie trilinéaire entre figures de rang 1.
26. Les correspondances quadratiques les plus simples.

III - 9
CONFIGURATIONS *
E. Steinitz - E. Merlin

1. Définitions et notations.
2. Note historique. Problème de Reye sur les configurations. Méthode de recherche.
3. Formation des configurations schématiques planes correspondant aux symboles n₃.
4. Propriétés géométriques des configurations n₃ et des configurations n₄. 

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome III  
GÉOMÉTRIE

Volume 3
Géométrie algébrique plane

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de François MEYER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1911-1915

Directeurs :
Jules MOLK
François MEYER

Articles par :
Friedrich DINGELDEY
Eugène FABRY
Luigi BERZOLARI

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
160 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-112-2

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

III - 17
CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

Introduction.
1. Abscisse d'un point.
2. Coordonnées homogènes.
3. Angle de deux droites dirigées.
4. Axes coordonnés.
5. Centre des distances proportionnelles.
6. Projections d'un vecteur.
7. Paramètres directeurs d'une droite dirigée.
8. Transformation de coordonnées.
9. Équation d'une courbe.
10. La droite en coordonnées rectilignes ponctuelles.
11. Aire d'un polygone.
12. Points et droites imaginaires.
13. Système de droites issues de l'origine.
14. Coordonnées homogènes.
15. Coordonnées trilinéaires.
16. Coordonnées tangentielles.
17. Coordonnées polaires. 

Définitions et propriétés élémentaires des coniques.
18. Sections coniques.
19. Foyers.
20. Ellipse.
21. Hyperbole.
22. Directrices. Parabole.
23. Théorèmes de Dupin et de Dandelin.
24. Propriétés des foyers. 

Théorie générale des coniques.
25. Génération par faisceaux de rayons homographiques, ou par ponctuelles homographiques.
26. Équation des courbes du second ordre.
27. Points d'intersection d'une droite avec une conique. Pôles et polaires.
28. Équation des courbes de seconde classe C².
29. Propriétés des pôles et polaires. Systèmes polaires. Triangles polaires.
30. Diamètres conjugués.
31. Nature d'une conique C₂ ou C².
32. Axes des coniques. Ombilics du plan.
33. Réduction de l'équation C₂ aux axes.
34. Cas particuliers.
35. Cercle de Monge. Coniques semblables.
36. Théorèmes d'Apollonius. Parallélogrammes circonscrits ou inscrits.
37. Théorème de Pascal.
38. Polaires réciproques. Théorème de Brianchon.
39. Systèmes d'hexagones de Pascal.
40. Réciprocité dans la figure de Pascal.
41. Divers systèmes d'hexagones de Pascal.
42. Relations métriques sur les polygones inscrits ou circonscrits.
43. Polygones inscrits variables.
44. Construction des polygones inscrits.
45. Les polygones de Poncelet.
46. Application des fonctions elliptiques au problème de fermeture.
47. Suite du problème de fermeture.
48. Nouveaux travaux sur les polygones de Poncelet.
49. Nouvelle définition des foyers.
50. Nouvelles propriétés des foyers.
51. Détermination des foyers et directrices. 

Normale et cercle de courbure.
52. Normale.
53. Normales menées par un point du plan.
54. Nouvelles recherches sur le problème des normales.
55. Cas particuliers du problème des normales.
56. Cercle de courbure.
57. Théorème de Steiner sur le cercle de courbure.
58. Relations entre les rayons de courbure.
59. Rayons de courbure de coniques tangentes.
60. Développée.

Quadrature et rectification.
61. Quadrature.
62. Rectification. Théorèmes de Fagnano, de Landen et d'Euler.
63. Recherches de Legendre et de Talbot.
64. Développements en série.

Appareils pour tracer les coniques.
65. Appareils.

III - 18
SYSTÈMES DE CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

Faisceaux de coniques.
1. Intersection de deux coniques et triangles polaires communs à deux coniques.
2. Théorème de Desargues-Sturm.
3. Conique de Staudt.
4. Conique polaire d'une droite. Conique des centres.
5. Nature des courbes du faisceau.
6. Faisceaux avec un cercle. Faisceaux de cercles.
7. Coniques semblables d'un faisceau. Coniques dont le produit des axes est maximé ou minimé.
8. Rapport anharmonique des points fondamentaux.
9. Lieu des foyers des coniques d'un faisceau.
10. Lieux particuliers.

Faisceaux tangentiels.
11. Triangle polaire commun.
12. Droite des centres. Conique polaire.
13. Nature des coniques du faisceau tangentiel.
14. Coniques semblables du faisceau. Coniques dont le produit des axes est maximé.
15. Cercles orthoptiques des coniques du faisceau.
16. Lieu des foyers des coniques d'un faisceau tangentiel.
17. Lieux particuliers.
18. Faisceau tangentiel de paraboles inscrites dans un triangle.
19. Faisceaux tangentiels de coniques ayant un foyer commun.
20. Coniques homofocales.
21. Coordonnées elliptiques. Théorème d'Ivory.
22. Théorèmes de Chasles.
23. Conique polaire d'un faisceau de coniques homofocales.
24. Arcs semblables.
25. Faisceau de coniques bitangentes.

Systèmes mixtes.
26. Système (3P, 1d)
27. Système (3d, 1P).
28. Système corrélatif à lui-même (2P,2d).
29. Système de cercles bitangents à une conique.
30. Autres systèmes de coniques.
31. Nombre de coniques remplissant une condition ; théorie des caractéristiques.

Réseaux de coniques.
32. Réseaux ponctuels, courbe de Hesse.
33. Courbe de Cayley du réseau.
34. Réseau des coniques polaires d'une cubique C₃.
35. Réseaux dont la forme de Hesse ou de Cayley disparaît.

Réseaux tangentiels.
36. Réseaux tangentiels. Courbes de Hesse et de Cayley.

Coniques et systèmes de coniques conjuguées.
37. Coniques conjuguées.
38. Nouvelles recherches sur les coniques conjuguées.
39. Systèmes de coniques conjuguées.
40. Cas particuliers.

Invariants de deux et trois coniques.

41. Invariants simultanés de deux C₂.
42. Tactinvariants.
43. Relation entre les formes.
44. Combinante.
45. Formes ternaires quadratiques et binaires biquadratiques.
46. Invariants de trois coniques.

III - 19
THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES *
L. Berzolari

Préliminaires.
1. Courbes planes algébriques ; courbes réelles ou complexes ; ordre d'une courbe.
2. Courbes planes algébriques réductibles ou irréductibles.
3. Représentations réelles d'une courbe plane algébrique.
4. Conditions algébriques imposées à une courbe plane algébrique.
5. Définitions et propriétés élémentaires au sujet des points singuliers des courbes planes algébriques.
6. Courbes planes algébriques envisagées comme lieux de points et comme enveloppes de droites.
7. Intersections de deux courbes planes algébriques.
8. Propriétés élémentaires générales des systèmes linéaires de courbes planes algébriques.

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome III
GÉOMÉTRIE

Volume 4 
Géométrie algébrique dans l'espace

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de François MEYER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1914

Directeurs :
Jules MOLK
François MEYER

Articles par :
Otto STAUDE
Auguste GRÉVY

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
88 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-113-9

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.


S O M M A I R E

III - 22
QUADRIQUES
O. Staude - A. Grévy

Introduction. Plan et ligne droite.
1. Coordonnées.
2. Paramètres directeurs.
3. Transformation des coordonnées.
4. Centre des distances proportionnelles.
5. Droite.
6. Plan.
7. Faisceau de plans.
8. Gerbe de plans. Réseau de plans.
9. Équation normale d'un plan.
10. Éléments imaginaires.
11. Coordonnées tangentielles.
12. Coordonnées de Plucker.
13. Complexes et congruences. 

Classification des quadriques.
14. Historique.
15. Les déterminants de la surface du second ordre.
16. Classification par les points doubles.
17. Classification d'après la conique de l'infini.
18. Classification en coordonnées tétraédriques.
19. Classification complète.
20. Les surfaces de seconde classe.
21. Centre.
22. Plans diamétraux, diamètres.
23. Tangentes conjuguées.
24. Les directions principales.
25. Équations canoniques et formes des quadriques.
26. Quadriques particulières. 

Quadriques et droites.
27. Intersection d'une droite et d'une quadrique.
28. Rapport anharmonique.
29. Tangentes et plans tangents.
30. Coordonnées tangentielles.
31. Cône circonscrit.
32. Cônes circonscrits particuliers.
33. Le complexe des tangentes.
34. Polygones inscrits et circonscrits.
35. Normales.
36. Généralisation de la notion de puissance et du théorème de Newton. 

Les génératrices rectilignes.
37. Notion de génératrice rectiligne.
38. Les deux systèmes de génératrices.
39. Représentation analytique des génératrices rectilignes.
40. Directrices d'un système réglé.
41. Système de quatre droites.
42. Complexes auxquels appartiennent les génératrices rectilignes.
43. Ponctuelles projectives sur les génératrices.
44. Polygones construits sur des génératrices.
45. Ligne de striction d'une quadrique. 

Sections planes.
46. Représentation analytique.
47. Classification des sections au point de vue projectif.
48. Classification au point de vue métrique.
49. Relations entre plusieurs sections planes.
50. Les axes d'une section plane.
51. Sections circulaires et ombilics.
52. Sections hyperboliques équilatères.
53. Foyers des sections planes.
54. Rayons de courbure principaux d'une quadrique.
55. Sections planes tangentes.

Pôles et plans polaires.
56. Réciprocité polaire.
57. Système propre.
58. Système polaire singulier.
59. Tétraèdre autopolaire.
60. Polygones autopolaires.
61. Le complexe des axes d'une quadrique.
62. Surfaces des centres de courbure, surfaces parallèles, surfaces dérivées.

Génération et construction des quadriques.
63. Génération par éléments homographiques de même rang. Éléments de rang un.
64. Génération par plans et droites en correspondance homographique. Éléments de rang deux.
65. Génération par correspondance entre points et plans. Éléments de rang trois.
66. Construction d'une quadrique passant par neuf points.
67. Quadrique passant par une conique et quatre points.
68. Générations particulières.
69. Déterminations multiples.

Propriétés focales des quadriques.
70. Le système homofocal.
71. Les focales considérées comme surfaces limites.
72. Les focales, lieux des sommets des cônes de révolution circonscrits.
73. Focales et axes focaux.
74. Les focales comme courbes directrices d'un système polaire.
75. Les foyers, centres de sphères bitangentes de rayon nul.
76. Propriétés focales des surfaces particulières.
77. Relations de deux focales.
78. Propriétés focales au point de vue d'Amiot et de Mac-Cullagh.
79. Théorèmes d'Ivory et de Jacobi.
80. Recherches de Staude.
81. Coordonnées elliptiques et coordonnées paraboliques.
82. Tangentes communes à deux quadriques homofocales.
83. Propriétés focales des lignes de courbure.

Transformations et représentation plane.
84. Correspondance homographique entre deux quadriques.
85. Collinéations de l'espace conservant une quadrique.
86. Représentation analytique des transformations.
87. Les quadriques dans la corrélation générale de l'espace.
88. Réciprocité polaire.
89. Réciprocités polaires qui transforment deux quadriques l'une dans l'autre.
90. Réciprocités polaires qui transforment une quadrique F en elle-même.
91. Transformations quadratiques d'une quadrique.
92. Représentation d'une quadrique sur un plan.

Faisceaux de quadriques.
93. Intersection de deux quadriques.
94. Faisceau ponctuel de quadriques.
95. Faisceau tangentiel.
96. Le discriminant du faisceau.
97. Intersection d'un faisceau ponctuel et d'un plan.
98. Faisceau ponctuel et droite.
99. Polarité relative à un faisceau ponctuel.
100. Points et plans fondamentaux.
101. Classification des faisceaux ponctuels.
102. Réalité des éléments.
103. Faisceaux singuliers.
104. Surfaces ayant une conique commune.
105. Quadriques tangentes le long d'une conique.
106. Faisceaux tangentiels spéciaux.
107. Quadriques de base particulières.
108. Les quadriques et les complexes linéaires.

Les cubiques gauches.
109. Aperçu général.
110. Éléments d'une cubique.
111. Le complexe des transversales.
112. La congruence des cordes.
113. Quadriques passant par une cubique gauche.
114. Polarité relative à une cubique.
115. Tétraèdre osculateur.
116. Tétraèdres de Möbius.
117. Points conjugués.
118. Polyèdres inscrits.
119. Génération des cubiques.
120. Détermination et construction des cubiques gauches.
121. Les cubiques gauches dans le complexe tétraédral.
122. Classification par les points à l'infini.
123. Diamètres.
124. Courbure.
125. Propriétés métriques et propriétés focales.
126. Cubiques particulières.
127. Transformation d'une cubique en elle-même.
128. Formes binaires sur une cubique gauche.
129. Relations invariantes entre deux cubiques gauches et une quadrique.
130. Faisceaux et gerbes de cubiques gauches.

Les quartiques.
131. Aperçu général.
132. Espèces et types.
133. Les singularités.
134. Représentation paramétrique.
135. La congruence des cordes.
136. Les tangentes aux biquadratiques.
137. Les plans tangents aux biquadratiques.
138. Les plans osculateurs à une biquadratique.
139. Le complexe des transversales.
140. Détermination et construction des biquadratiques.
141. Faisceau de biquadratiques situées sur une quadrique.
142. Quadruplet de points.
143. Triplet de points.
144. Théorèmes de fermeture.
145. Transformation de biquadratiques.
146. Projection stéréographique.
147. Réalité et forme des biquadratiques.
148. Biquadratiques particulières.

Réseaux de quadriques.
149. Notion de réseau.
150. Réseau de quadriques coupé par un plan ou une droite.
151. Polarité relative à un réseau.
152. La courbe nodale du réseau.
153. Le système des huit points associés.
154. Réseaux spéciaux.

Systèmes linéaires à trois paramètres.
155. Définition.
156. Polarité.
157. Correspondance homographique entre le système à trois paramètres et l'espace planaire.
158. Surface nodale.
159. Les rayons principaux.
160. Surface de Steiner.
161. Système de quadriques à trois paramètres ayant un ou plusieurs points communs.
162. Système de quadriques à trois paramètres ayant six points communs.
163. Système des premières polaires d'une surface du troisième ordre.
164. Système linéaire de quadriques à trois paramètres ayant une ou deux droites communes.
165. Système de quadriques à trois paramètres ayant une conique commune.
166. Quadriques ayant un tétraèdre conjugué commun.

Systèmes à plus de trois paramètres.
167. Définitions des systèmes ponctuels et tangentiels.
168. Systèmes linéaires ponctuels et tangentiels.
169. Système quadratique.
170. La sphère considérée comme élément de l'espace.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy,
et de Paul APPELL, Professeur à l'Université de Paris.

Tome IV 
MÉCANIQUE

Volume 1 
Généralités
Historique

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de Félix KLEIN et de C. H. MÜLLER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1915

Directeurs :
Jules MOLK
Paul APPELL
Félix KLEIN
C. H. MÜLLER

Articles par :
A. VOSS
Eugène COSSERAT
François COSSERAT
Paul EHRENFEST
Tatiana EHRENFEST
Émile BOREL

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides
PHYSIQUE
Chaleur. Thermodynamique

Reprint 1991
24,5 x 18 cm, oblong
154 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-114-6

 La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.


S O M M A I R E

IV - 1
PRINCIPES DE LA MÉCANIQUE RATIONNELLE
A. Voss - E. Cosserat - F. Cosserat

Nature et objet de la mécanique.
1. Introduction.
2. Caractère des principes dans la mécanique.
3. Nature et objet de la mécanique.
4. Les différentes branches de la mécanique.
5. Remarques historiques.

Les principes généraux de la mécanique.
A - Principes philosophiques.
6. Le principe de causalité et le principe de raison suffisante.
7. Principes téléologiques.
8. Principes formels de Mach.

B - Principes mathématiques.
9. Les concepts de quantité et de qualité. La notion de groupe.
10. Le continu mathématique et la continu physique.
11. Théorèmes d'unicité et d'existence. Méthodes des approximations successives.
12. L'état naturel et l'état infiniment voisin de l'état naturel. Le principe des petits mouvements.
13. Le principe d'homogénéité et le principe de similitude.

C - Principes physiques.
14. Le principe de continuité.
15. Action instantanée à distance.
16. Mécanique des milieux continus.
17. Mécanique des états physiques.
18. Mécanique statistique.
19. L'énergétique.

Les notions fondamentales de la mécanique.
A - Notions fondamentales de la cinématique.
20. Les intuitions de l'espace et du temps.
21. La mesure de la durée.
22. Vues philosophiques de l'époque actuelle.
23. Le système de référence de la mécanique au point de vue lagrangien.
24. Le système de référence de la mécanique au point de vue concret.
25. Le système de référence de la mécanique au point de vue eulérien.

B - Notions fondamentales de la statique.
26. La statique. Introduction.
27. La statique des corps invariables.
28. Le parallélogramme des forces.
29. La statique des milieux continus.
30. L'effort et le mouvement de déformation, la force et le moment extérieurs, le travail extérieur et l'énergie de déformation dans la statique des milieux continus.
31. Les concepts de la mécanique classique déduits de la théorie des milieux déformables.

C - Notions fondamentales de la dynamique.
32. Galilée et les Principes de Newton.
33. La théorie cinématique du mouvement dans la dynamique.
34. Le système classique de la dynamique.
35. Remarques critiques sur le système classique de la dynamique.
36. Les forces instantanées et les percussions ou impulsions.
37. La notion généralisée de force dynamique ; la théorie de l'action euclidienne.

D - Les théories cinétiques pures.
38. L'élimination de la force dans la cinétique de W. Thomson (Lord Kelvin).
39. La théorie cinétique de la force de J. J. Thomson.
40. La mécanique de Hertz.

Les principes spéciaux de la mécanique rationnelle.
A - Le principe des vitesses virtuelles.
a) La statique.
41. La notion de l'équilibre.
42. Le principe des vitesses virtuelles.
43. La démonstration du principe des vitesses virtuelles.
44. Les démonstrations de Lagrange, Poinsot et autres.
45. Le point de vue énergétique.
46. Le principe de Fourier : systèmes matériels de genre plus général.
47. Les conditions d'équilibre.

b) La dynamique.
48. Le principe de d'Alembert.
49. Les équations de Lagrange.
50. Systèmes non holonomes.
51. Le principe de la moindre contrainte de Gauss.
52. Les équations différentielles du mouvement pour les liaisons unilatérales.
53. Le principe de d'Alembert pour les impulsions.

B - Le principe isopérimétrique.
54. Le principe d'Hamilton.
55. Le principe de la moindre action.
56. Historique du principe de la moindre action.

C - Le principe de la conservation de l'énergie.
57. Le théorème des forces vives.
58. Remarques historiques sur le travail, la force vive, l'énergie.
59. Le principe de la conservation de l'énergie.
60. Le viriel et le second principe fondamental de la Thermodynamique.
61. La propagation de l'énergie.
62. La base énergétique de la mécanique.
63. Conclusion.

IV - 2
MÉCANIQUE STATISTIQUE
P. Ehrenfest - T. Ehrenfest - É. Borel

Remarques préliminaires.
1. Introduction.

Les anciennes recherches de mécanique statistique (statistique cinétique des molécules).
2. Les premières applications du calcul des probabilités.
3. L'égalité de fréquence d'événements en apparence également possibles.
3a. Les formules de Clausius.
3b. Formule du nombre des chocs.
4. La fréquence relative d'événements non égaux en droits
4a. Les formules qualitatives et les premières évaluations de Clausius.
4b. La loi de répartition des vitesses d'après Maxwell.
4c. La généralisation de la loi de Maxwell par Boltzmann.
5. La déduction des lois de fréquence de seconde espèce de celles de premières espèce.
6. Le théorème H de Boltzmann. L'interprétation cinétique des processus à marche unilatérale.
7. Les objections contre la démonstration de l'irréversibilité.
7a. L'objection de Loschmidt : l'inversion du mouvement.
7b. L'objection de Zermelo : la périodicité du mouvement.
8. Remarque finale.

Les recherches modernes de mécanique statistique(statistique cinétique du modèle d'un gaz).
9. Propriétés mécaniques du modèle d'un gaz.
9a. Le modèle d'un gaz et ses phases.
9b. L'espace des phases.
9c. Le théorème de Liouville.
9d. Répartitions de densité stationnaires dans l'espace des phases.
10. Le modèle d'un gaz regardé comme système ergodique.
10a. Systèmes mécaniques ergodiques.
10b. Répartitions ergodiques de densité dans l'espace des phases.
11. L'allure moyenne du modèle d'un gaz pendant un mouvement indéfini.
11a. Les recherches de Boltzmann.
11b. Critique et signification du résultat de Boltzmann.
12. Propriétés mécaniques du modèle d'un gaz ; suite.
12a. L'espace des phases des molécules. La répartition Z des états des molécules.
12b. Les volumes de l'espace des phases correspondant à une répartition Z.
12c. Fonctions de la répartition des phases.
12d. La fonction H(Z).
12e. Les coefficients différentiels.
13. La prédominance de la répartition de Maxwell-Boltzmann.
14. La forme modifiée du théorème H.
14a. La courbe en escalier des valeurs de H(Z).
14b. La courbe H.
14c. Le faisceau de courbes H ; sa courbe de condensation.
14d. La courbe du théorème H.
15. Le caractère statistique des explications cinétiques.
15a. Répartition des états et données expérimentales.
15b. Le postulat de la détermination. Le mouvement brownien.
16. Retour aux objections de l'inversion de la périodicité.
17. Relation entre la théorie statistique et le théorème de l'entropie.
18. Transformation de la formule statistique du nombre des chocs. Hypothèse de l'inorganisation moléculaire.
18a. Les indications de Boltzmann.
18b. Détermination approfondie de la répartition des états. Groupement de Jeans.
18c. L'hypothèse de l'inorganisation moléculaire.

La "mécanique statistique" de W. Gibbs.
19. La réduction en axiomes de la statistique cinétique.
20. Le programme de Gibbs dans sa "mécanique statistique".
21. L'introduction de certaines distributions spéciales stationnaires de la densité dans l'espace des phases (distributions canonique et microcanonique).
22. Relations entre les valeurs moyennes dans les faisceaux canoniques.
22a. Quelques résultats de Gibbs.
22b. Relations avec la loi de répartition de Maxwell-Boltzmann.
22c. La fonction de Gibbs mesurant l'écart de la répartition canonique.
23. Répartition non stationnaire de densité dans l'espace des phases.
23a. La dissipation des répartitions non stationnaires.
23b. L'allure des faisceaux spéciaux non stationnaires.
24. Les analogies avec l'allure expérimentale des corps chauds.
24a. Quelques formules auxiliaires.
24b. Le gaz en équilibre thermique et l'égalisation de température entre deux corps chauds différents.
24c. La température comme diviseur intégrant des quantités de chaleur communiquées au gaz d'une façon réversible. Interprétation de l'entropie.
24d. Remarques au sujet de l'interprétation de l'entropie au moyen d'une fonction de Gibbs.
24e. Les analogies monocycliques avec la thermodynamique.
25. Travaux qui dérivent de ceux de Gibbs ou sont en relation avec eux.
26. Conclusion.

Supplément I.
27. Répartitions de densité non stationnaire dans l'espace des phases.
28. Les analogies avec l'allure observable des corps chauds et les travaux qui se rapportent à la représentation de Gibbs.
29. Remarque finale.
30. La réduction en axiomes de la statistique cinétique.

Supplément II.
31. La distinction entre la mécanique statistique et la théorie cinétique des gaz.
32. Les recherches mathématiques inspirées par la mécanique statistique.
33. La mécanique statistique comme théorie de physique mathématique.
34. Les recherches de physique théorique et de physique expérimentale qui se rattachent à la mécanique statistique.
35. Conclusion.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants.

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy,
et de Paul APPELL, Professeur à l'Université de Paris.

Tome IV 
MÉCANIQUE

Volume 2 
Mécanique générale

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de Félix KLEIN et de C. H. MÜLLER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1912-1916

Directeurs :
Jules MOLK
Félix KLEIN
C. H. MÜLLER

Articles par :
H. E. TIMERDING
Lucien LÉVY
Giuseppe JUNG
Emmanuel CARVALLO
Arthur SCHŒNFLIES
Gabriel KŒNIGS

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
160 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-115-3

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

IV - 4
FONDEMENTS GÉOMÉTRIQUES DE LA STATIQUE
Heinrich Emil Timerding - Lucien Lévy

Introduction.
1. Objet de cet article.
2. Segments sur un axe orienté.
3. Le vecteur.
4. Diverses catégories de vecteurs.
5. Coordonnées des vecteurs.
6. Vecteurs libres. Leur addition et soustraction.
7. Digression sur la notation de Grassmann et sur les quaternions.
8. Produit intérieur ou scalaire de deux vecteurs.
9. Sens des rotations.
10. Formules de transformations de coordonnées.
11. Triangles orientés. Cycles.
12. Produit vectoriel.
13. Vecteurs polaires et vecteurs axiaux.
14. Points-masses.
15. Grandeurs scalaires de première espèce et grandeurs scalaires de deuxième espèce.
16. Les moments.
17. Moment linéaire ou vectoriel d'un vecteur glissant par rapport à un point.
18. Moment par rapport à un axe.
19. Moment relatif de deux vecteurs.
20. Coordonnées d'un vecteur glissant.
21. Addition des vecteurs glissants, concourants ou parallèles. Couples de Poinsot.
22. Systèmes de vecteurs. Résultante de translation et moment résultant.
23. Systèmes équivalents. Réduction d'un système à une force et à un couple.
24. Composition des couples.
25. Système de deux vecteurs équivalents à un système de vecteurs donné.
26. Visseurs.
27. Distribution dans l'espace des systèmes de deux vecteurs équivalents à deux vecteurs donnés. Droites de moment nul.
28. Moment relatif de deux systèmes de vecteurs.
29. Des complexes linéaires.
30. Distribution hélicoïdale des plans du complexe et des moments résultants.
31. Des droites de moment donné.

Autres figures géométriques utiles en mécanique.
32. Objet de ce chapitre.
33. Définitions préliminaires.
34. Biplan. Règle du trapèze.
35. Les vecteurs glissants sphériques.
36. Biplans à faces parallèles. Systèmes de biplans.
37. Les moteurs.
38. Correspondance entre les moteurs et les biplans ou les vecteurs glissants.
39. Addition géométrique des moteurs.
40. Les moulinets.
41. Addition des moulinets.
42. Les pseudo-moulinets.
43. Systèmes de moulinets.
44. Les impulseurs.
45. Addition des impulseurs.
46. Addition stéréométrique des moteurs.
47. Nouveaux liens entre les moteurs et les systèmes de vecteurs ou de biplans.
48. Aperçu sur quelques applications du présent article. Rappel de quelques notions relatives au déplacement d'un corps solide.
49. Lien entre les déplacements et les figures de Study.

Vis, vissages et visseurs de Ball.
50. Définitions. Notations.
51. Vis.
52. Forme canonique d'un visseur.
53. Forme canonique d'un vissage.
54. Expressions analytiques du visseur et du vissage.
55. Différences analytiques du visseur et du vissage.
56. Comparaison des théories de Ball et de Study.
57. Les vis réciproques.
58. Coordonnées-vis et leurs transformations linéaires les plus générales.
59. Systèmes linéaires de vissages et leur interprétation dans le cas des corps gênés.
60. Systèmes de vis du deuxième degré. Le cylindroïde.
61. Systèmes de vis du troisième degré.
62. Systèmes de vis du quatrième degré.
63. Systèmes de vis du cinquième degré.
64. Homographie dans les systèmes de vis.

Caractères fondamentaux de la statique élémentaire.
65. L'idée de force en statique.
66. Coordonnées de la force.
67. Le principe fondamental de la statique.
68. Le corps solide.
69. La loi du levier.
70. Systèmes de forces quelconques. Leur réduction à deux forces rectangulaires.
71. Réduction d'un système de forces à une résultante unique.
72. Généralisations des expressions analytiques des conditions d'équilibre.
73. Principe du travail virtuel.
74. Le viriel.
75. Interprétations erronées de l'analogie entre les forces et les mouvements infiniment petits.

Astatique
Introduction géométrique : Surfaces homofocales.
76. Équations tangentielles. Systèmes antipolaires.
77. Quadriques homofocales.
78. Le complexe des axes de Reye.
Astatique proprement dite.
79. Origines et but de l'astatique.
80. Cas de l'espace à deux dimensions.
81. Systèmes de forces parallèles.
82. Équilibre astatique et équivalence astatique.
83. Couples liés.
84. Moment scalaire d'un système de forces liées par rapport à un plan.
85. Réduction astatique d'un système de forces liées. Plan central. Point central.
86. Les faisceaux de quadriques homofocales enveloppées par les plans d'égal moment.
87. Les axes statiques de Siacci. Le théorème de Minding.
88. Généralisation du théorème de Minding par Darboux.
89. Axes principaux de la rotation.
90. Cas particuliers de coordonnées astatiques.

IV - 5
GÉOMÉTRIE DES MASSES
Giuseppe Jung - Emmanuel Carvallo

Introduction
1. La notion de système de masse

Moments linéaires. Le centre de gravité.
2. Moments polaires linéaires. Différentes espèces de points masses.
3. Moments linéaires planaires. Moments statiques par rapport à un plan.
4. Projection d'un système de masses sur un plan. Système rectiligne.
5. Théorèmes sur le centre de gravité. Centre des moyennes distances.
6. Coordonnées barycentriques.
7. Le système des masses envisagé comme un système de forces parallèles.
8. Systèmes congruents et systèmes semblables.

Moments quadratiques. Le système antipolaire.
9. Les différentes espèces de moments quadratiques et leurs significations respectives.
10. Moments polaires quadratiques.
11. Moments planétaires quadratiques et de déviation et leur relation avec le système antipolaire lié aux systèmes de masses.
12. Les surfaces centrales pour les moments quadratiques planaires et les moments de déviation.
13. Les surfaces homofocales de moment planaire constant.
14. Moments quadratiques axiaux et surfaces centrales correspondantes pour un système général.
15. Moments de déviation des systèmes pesants, dans le cas particulier des plans rectangulaires.
16. Les surfaces d'inertie d'un point quelconque.
17. Le trièdre principal d'inertie d'un point quelconque.
18. Le complexe d'inertie d'un système de masses.
19. Surfaces de moments principaux planaires et axiaux. La famille des complexes de moments axiaux constants.
20. Moments quadratiques pour les systèmes plans et rectilignes (généraux).
21. Le développement historique de la théorie des moments et des surfaces d'inertie.
22. Systèmes de masses quadratiquement équivalents.

Appendice à la théorie des moments linéaires et quadratiques.
23. Moments linéaires quadratiques d'un système continu. Le noyau d'une figure continue.
24. Calcul effectif des moments linéaires et quadratiques pour les systèmes pesants.

Moments supérieurs.
25. Définition générale des moments supérieurs.
26. Les surfaces nulles d'un système de masses.
27. Équivalence de degré supérieur. Indifférence de degré supérieur.
28. Polarité et apolarité.
29. Remplacement d'un système de masses par des points isolés au point de vue des moments du m-ième degré.
30. Le problème des valeurs limites de Tchebichev.

IV - 6

CINÉMATIQUE *
Arthur Schœnflies - Gabriel Kœnigs

A. Mouvements finis.
1. Les types les plus simples de mouvements ; les déplacements et les antidéplacements.
2. Composition des déplacements et des antidéplacements.
3. Le dualisme dans le mouvement.
4. Plusieurs positions données du même plan ou du même faisceau.
5. Plusieurs positions d'un même système dans l'espace.
6. Représentation analytique des mouvements finis.

B. Mouvements continus.
7. Principes et méthodes propres à la cinématique générale.
8. Mouvement d'un point isolé.
9. Le principe de composition des vitesses.
10. Lois de distribution des vitesses dans un solide en mouvement.
11. Composition des rotations.
12. Représentations analytiques.
13. Composition des accélérations. Théorème de Coriolis.
14. Mouvement continu d'un plan sur lui-même.
15. Questions métriques et constructives.
16. Vitesse et accélérations du mouvement plan.
17. Propriétés générales des courbes conjuguées.
18. Mouvements spéciaux dans le plan.
19. Système à bielle et manivelle.
20. Description approchée des courbes au moyen du dispositif de bielle et manivelles.
21. Mouvement continu autour d'un point fixe.
22. Vitesse et accélération dans le mouvement autour d'un point fixe.
23. Polhodie et herpolhodie.
24. Les surfaces des axes dans le mouvement le plus général.
25. Propriétés infinitésimales du premier ordre du mouvement le plus général d'un corps solide.
26. Propriétés infinitésimales d'ordre supérieur du mouvement le plus général d'un corps solide.
27. Vitesse et accélération dans le mouvement le plus général d'un solide dans l'espace.
28. Mouvements dans la cas d'une liberté de degré 2 ou de degré supérieur.

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants.

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy,
et de Paul APPELL, Professeur à l'Université de Paris.

Tome IV 
MÉCANIQUE

Volume 5 
Systèmes déformables

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de Félix KLEIN et de C. H. MÜLLER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1912-1914

Directeurs :
Jules MOLK
Félix KLEIN
C. H. MÜLLER

Articles par :
Max ABRAHAM
Paul LANGEVIN
A. E. H. LOVE
Paul APPELL
Henri BEGHIN
Henri VILLAT

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides

Reprint 1993
24,5 x 18 cm, oblong
112 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-116-0

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
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Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.


S O M M A I R E

IV - 16
NOTIONS GÉOMÉTRIQUES FONDAMENTALES

Max Abraham - Paul Langevin

Introduction.
1. Aperçu préliminaire sur les grandeurs géométriques de la physique et de la mécanique.
2. Scalaires purs et pseudo-scalaires.

Analyse vectorielle.
3. Vecteurs polaires.
4. Vecteurs axiaux.
5. Champ d'un scalaire.
6. Champ d'un vecteur.
7. Champ newtonien.
8. Champ solénoidal et champ laplacien.
9. Champ harmonique.
10. Champ orthogonal.
11. Décomposition d'un champ de vecteur en un champ newtonien et un champ laplacien.
12. Déduction de nouveaux vecteurs et scalaires à partir de vecteurs donnés.

Cinématique et statique de milieux continus.
13. Déplacement homogène.
14. Fonction vectorielle linéaire.
15. Décomposition en déformation pure et rotation.
16. Autres décompositions.
17. Déplacements infiniment petits, en général hétérogènes.
18. Déformation (strain) dans un déplacement homogène. Tenseurs.
19. Déformation hétérogène infiniment petite. Champ de tenseurs.
20. Tensions à l'intérieur d'un corps (stress, Spannungen).
21. Introduction des coordonnées curvilignes dans les champs de vecteur et de tenseur.

Relations mutuelles des champs de scalaires, vecteurs et tenseurs.
22. Symétrie des phénomènes physiques et symétrie cristalline.
23. Relations mutuelles des champs de vecteurs.
24. Relations mutuelles où interviennent des champs de tenseurs.

IV - 17
HYDRODYNAMIQUE (Partie élémentaire)
A. E .H. Love - Paul Appell - Henri Beghin

1. Premières recherches sur la mécanique des fluides. Notion de pression.
2. Équations générales d'équilibre et de mouvement des fluides parfaits.
3. Équilibre des fluides pesants.
4. Équilibre relatif isotherme d'un fluide incompressible.
5. Équilibre des corps flottants dans un liquide incompressible.
6. Cinématique des fluides.
7. Équations du mouvement d'un fluide parfait. Transformations.
8. Mouvement permanent. Écoulement des fluides.
9. Circulation. Propriétés élémentaires des tourbillons.
10. Conservation de l'énergie.
11. Notion de viscosité.
12. Équations du mouvement d'un fluide visqueux.
13. Dissipation de l'énergie.
14. Relations avec la théorie moléculaire.

IV - 18
DÉVELOPPEMENTS CONCERNANT L'HYDRODYNAMIQUE
A. E. H. Love - Paul Appell - Henri Beghin - Henri Villat

Mouvement irrotationnel d'un liquide incompressible.
1a. Généralités sur la distribution des vitesses.
1b. Sources et doublets.
1c. Images.
1d. Mouvement à deux dimensions.
1e. Mouvements discontinus à deux dimensions (Mouvements glissants).
1f. Mouvements à trois dimensions.

Mouvement de corps solides dans un liquide incompressible.
2a. Cinématique.
2b. Énergie cinétique.
2c. Symétrie hydrocinétique.
2d. Équations du mouvement.
2e. Mouvement acyclique. Sphères.
2f. Mouvement cyclique.
2g. Sphères pulsantes.

Mouvements tourbillonnaires.
3a. Détermination des vitesses en fonction des tourbillons.
3b. Tourbillons circulaires.
3c. Champs plans de tourbillons.
3d. Vibrations des tourbillons.
3e. Action mutuelle d'anneaux quelconques infiniment minces.
3f. Tourbillons de section finie.

Ellipsoides liquides soumis à leur propre gravité.
4a. Théorie générale.
4b. Étude particulière des figures d'équilibre relatif. Stabilité.

Mouvements ondulatoires des fluides incompressibles.
5a. Nature du mouvement ondulatoire d'un liquide pesant.
5b. Ondes longues.
5c. Ondes oscillatoires.
5d. Énergie d'un mouvement ondulatoire. Vitesse de groupes.
5e. Ondes stationnaires.
5f. Oscillations stationnaires dans des bassins.
5g. Détermination plus rigoureuse de mouvements ondulatoires.
5h. Onde solitaire.
5i. Solutions plus rigoureuses des mouvements ondulatoires dans des bassins quelconques.
5j. Oscillations d'une sphère fluide.

Fluides visqueux.
6a. Transformation des équations du mouvement.
6b. Mouvements permanents.
6c. Mouvements variables et périodiques.
6d. Mouvements par lames.
6e. Mouvements turbulents.
6f. Instabilité du mouvement régulier par lames.
6g. L'Hydrodynamique de P. Duhem.

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants.

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy,
et de Paul APPELL, Professeur à l'Université de Paris.

Tome IV
MÉCANIQUE

Volume 6
Balistique
Hydraulique

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de Félix KLEIN et de C. H. MÜLLER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1913

Directeurs :
Jules MOLK
Félix KLEIN
C. H. MÜLLER

Articles par :
Carl CRANZ
Emmanuel VALLIER
C. BENOÎT
F. GOSSOT
R. LIOUVILLE
Philipp FORCHHEIMER
Auguste BOULANGER

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides

Reprint 1993
24,5 x 18 cm, oblong
104 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-117-7


La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.


S O M M A I R E

IV - 21
BALISTIQUE EXTÉRIEURE
Carl Cranz - Emmanuel Vallier

Introduction.
1. Préliminaires.
2. Définitions et notations.

De la résistance de l'air au mouvement des projectiles.
3. Exposé théorique.
4. Formules empiriques de la résistance de l'air.
5. Expériences ayant servi à l'établissement des formules précédentes.
6. Variation de la résistance de l'air avec la forme de l'ogive et l'inclinaison de l'axe du projectile sur la tangente. Densité transversale ou poids par unité de la section droite.

Problème essentiel de la balistique.
Principales méthodes d'approximation pour le résoudre.
7. Préliminaires. Mouvement dans le vide.
8. Exposé du problème et propriétés générales de la trajectoire.
9. Réduction du problème à des équations différentielles intégrales.
10. Solutions approchées des équations différentielles fondamentales.
11. Méthodes graphiques.
12. Résolution exacte des équations différentielles approchées.
13. Méthode de Didion.
14. Formules semi-empiriques.
15. Méthode de Siacci.
16. Discussion des méthodes ci-dessus.

Déviations régulières des projectiles. Leurs causes.
17. Exposé des causes.
18. Variation de la vitesse initiale.
19. Variation de l'angle de projection.
20. Variations du poids spécifique de l'air.
21. Influence du vent.

Mouvements complémentaires.
22. Influence de la rotation de la Terre.

Mouvements secondaires des projectiles. Conséquences de leur rotation. Dérivation.
23. Mouvements secondaires.
24. Dérivation des projectiles oblongs.
25. Étude analytique de la dérivation.

Déviations accidentelles des projectiles.
26. Déviations accidentelles.

Effets des projectiles.
27. Pénétration du projectile dans un milieu résistant.
28. Effets contre les êtres animés.
29. Perforation.

Tables de tir.
30. Généralités.
31. Différents genres de tirs.
32. Tables de tir d'artillerie navale.
33. Tir courbe.
34. Trajectoire purement empirique.

Appareils et méthodes de mesure de la balistique extérieure.
35. Mesure de l'angle de relèvement.
36. Mesure de la vitesse initiale par les appareils anciens et nouveaux.
37. Mesure d'autres grandeurs.

Résumé et conclusions.
38. Sur la position actuelle du problème balistique.

IV - 22
BALISTIQUE INTÉRIEURE
Carl Cranz - C. Benoît

Introduction.
1. Problème de la balistique intérieure.
2. Notations.

Bases thermochimiques et thermodynamiques de la balistique intérieure.
3. Qualité des poudres.
4. Capacité calorifique et énergie des poudres.
5. Température de combustion des gaz de la poudre.
6. Volume spécifique ; pression spécifique ; covolume ; densité de chargement.
7. Pression du gaz sous volume constant.
8. Mode et vitesse de combustion de la poudre.

Étude théorique du problème dynamique.
9. Cas de la détonation.
10. Cas de la combustion graduelle de la poudre.

Résolution pratique du problème dynamique.
11.Remarques générales.
12. Formules de Sarrau.
13. Dernières expériences et derniers diagrammes.
14. Les formules de Vallier.

Conditions auxquelles doivent satisfaire la pièce et ses accessoires.
15. Résistance du canon.
16. Rayures.
17. Recul. Conditions auxquelles doivent satisfaire les affûts.

Appareils de mesure et méthodes de mesure de la balistique intérieure.
18. Méthodes statiques de mesure de la pression des gaz.
19. Méthodes dynamiques pour mesurer la pression du gaz.
20. Remarques critiques concernant la mesure de la pression.
21. Autres appareils et méthodes de mesure.

Conclusion.

IV - 22a
DÉVELOPPEMENTS CONCERNANT QUELQUES RECHERCHES DE BALISTIQUE EXÉCUTEES EN FRANCE
F. Gossot - R. Liouville

A. Mesure des vitesses.
B. Mesure des pressions.
C. Mode de combustion des poudres.
D. Équation différentielle du mouvement du projectile.
E. Propriétés de l'équation différentielle du mouvement et variables caractéristiques.
F. Notes historiques.

IV - 23
HYDRAULIQUE *
Philipp Forchheimer - Auguste Boulanger

Introduction.
1. Caractère de l'hydraulique.

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.